Stochastic Differential equation

Gerak Brown

Misalkan (\Omega,\mathcal{F}, P) adalah suatu ruang probabilitas. Terdapat banyak kejadian di sekitar kita dapat dimodelkan sebagai proses stokastik, yaitu keluarga variabel acak yang terindeks oleh suatu parameter waktu I, (X_t)_{t\in I}.

Contoh suatu proses stokastik yang populer adalah Brownian motion (Gerak Brown)

Definisi Gerak Brown standar:
Proses stokastik (B_t)_{t\in R_+} yang memenuhi sifat-sifat:
1. B_0=0 almost surely
2. Sample pathnya B_t kontinu (almost surely)
3. Untuk barisan hingga waktu t_0<t_1<\hdots<t_n, selisih-selisih B_{t_1}-B_{t_0}, B_{t_2}-B_{t_1},\hdots,B_{t_n}-B_{t_{n-1}} saling bebas.
4. Untuk setiap waktu 0\leq s<t, B_t-B_s berdistribusi Normal dengan rataan 0 dan variansi t-s.

Suatu proses (X_t)_{t\in R_{+}} dikatakan \mathcal{F}_t-adapted jika X_t adalah \mathcal{F}_t-measurable untuk semua t\in R_{+}.

Perhatikan definisi
\int_0^\infty f(t)dB_t=\int_0^\infty f(t)\frac{dB_t}{dt}dt tidak dapat diterapkan pada gerak Brown. Hal ini disebabkan path dari Gerak Brown tidaklah differentiable:
\frac{dB_t}{dt}=\frac{\pm \sqrt{dt}}{dt}=\pm \frac{1}{\sqrt{dt}}\to \pm \infty.

Definisi
Ruang simple predictable process \mathcal{P} adalah
\left\{(u_t)_{t\in R_+} \ | \ u_t=\sum_{i=1}^n F_i 1_{(t_{i-1}^n,t_i^n]}(t),\quad t\in R_+, F_i\in L^2(\Omega,\mathcal{F}_{t^n_{i-1}},P) \right\}

Sehingga untuk (u_t)\in \mathcal{P} kita memiliki
\int_0^\infty u_t dB_t:=\sum_{i=1}^n F_i(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}).

Definisi:
L_{ad}^p(\Omega\times R_+),\ p\in[1,\infty] adalah ruang dari \mathcal{F}_t-adapted processes di L^p(\Omega\times R_+).

Kita dapat menunjukkan untuk (u_t)\in \mathcal{P} dan u_t\in L^2_{ad}(\Omega\times R_+) berlaku
E\left[\left(\int_0^\infty u_t dB_t\right)^2\right]=E\left[ \int_0^\infty u_t^2 dt \right]

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>